clear, clc, close 

%% Cvičení 4. Rozdělení náhodné veličiny
% Table of Contents
% Rozdělení diskrétní náhodné veličiny
%     Alternativní rozdělení
%     Binomické rozdělení
%     Poissonovo rozdělení
%     Geometrické rozdělení
%     Rovnoměrné rozdělení (diskrétní)
% Rozdělení spojité náhodné veličiny
%     Rovnoměrné rozdělení (spojité)
%     Normální (Gaussovo) rozdělení
%     Normované normální rozdělení
%     Exponenciální rozdělení
%
%% Rozdělení diskrétní náhodné veličiny
%% Alternativní rozdělení
% Pouze dvě možné hodnoty - úspěch 1 a neúspěch 0.
% \[
% f\left(x\right)=p^{x}(1-p)^{1-x}\;\;\;\mbox{ pro }\;\;\;x\in\left(0,1\right)
% \]
% Sledujeme auta na křižovatce. Odbočí s pravděpodobností 0,3. Napište pravděpodobnostní funkci tohoto rozdělení. Vygenerujte data z tohoto rozdělení a vykreslete histogram.
% úspěch - auto odbočí, neúspěch - auto pojede rovně
% $f(0)=0,3^0(1-0,3)^{1-0}=0,7$
% $f(1)=0,3^1(1-0,3)^{1-1}=0,3$

fx_alt=pdf('Binomial',1,1,0.3)% 1 - úspěch (0 - neúspěch), 1 - jeden alternativní pokus, 0.3 - pravděpodobnost úspěchu 
% 1 - jeden alternativní pokus, 0.3 - pravděpodobnost úspěchu, 1 řádek, 10 sloupců)
x=random('Binomial',1,0.3,1,10) % vygenerujeme 10 hodnot

% Vygenerujte 500 dat s jinou pravděpodobností úspěchu a porovnejte jejich histogramy:



%% Binomické rozdělení
% Počet úspěchů v několika alternativních pokusech.
% \[
% f(x)=\left(\begin{array}{c}
% N\\
% x
% \end{array}\right)p^{x}(1-p)^{N-x},\;\;\;\;\mbox{kde}\left(\begin{array}{c}
% N\\
% x
% \end{array}\right)=\frac{N!}{(N-x)!x!}
% \]
% kde $x$ je počet úspěchů a $N$ je počet pokusů.
%
% Při měření rychlosti na určitém úseku je zjištěno, že pouze každý pátý řidič dodržuje rychlost. S jakou pravděpodobností z 8 vybraných řidičů překročí rychlost právě dva řidiči?
% Úspěch - překročení rychlosti, neúspěch - nepřekročení
% Pravděpodobnost úspěchu = 4/5. Hledáme pravděpodobnost 2 úspěchů z 8 pokusů:
% \[
% f\left(2\right)=\left(\begin{array}{c}
% 8\\
% 2
% \end{array}\right)\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{6}=\frac{8!}{2!\,6!}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{6}=28\cdot0.64\cdot0.000064=0.0011469
% \]
%


fx_bin=pdf('Binomial',0:8,8,4/5)% 0:8 úspěchů, 8 alternativních pokusů, 4/5 - pravděpodobnost úspěchu
p=fx_bin(3) %právě dva řidiči

% S jakou pravděpodobností z 8 vybraných řidičů překročí rychlost od 2 do 5 řidičů?

p=sum(fx_bin(3:6))

% S jakou pravděpodobností z 8 vybraných řidičů překročí rychlost více než 5 řidičů?  právě 5 řidičů?



% Vygenerujeme 1000 dat a vykreslíme histogram:

d=random('Binomial',8,4/5,1,500)
histogram(d)

%% Poissonovo rozdělení
% Počet výskytů náhodných  nezávislých událostí za jednotku času s intenzitou $\lambda$:
% $$
% f(x)=\exp\{-\lambda\}\frac{\lambda^{x}}{x!}
% $$
% Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že za rok se na daném úseku stanou 4 dopravní nehody. S jakou pravděpodobností se na úseku stanou za rok alespoň 2 dopravní nehody?
% Tady jednotka času (rok) se nezměnila, proto intenzita = 4.
% Alespoň 2 nehody znamená, že se nemohou stát 0 a 1 nehoda, tj
% \[
% P(x\geq2)=1-f(1)-f(0)
% \]

fx_poi=pdf('Poisson',0:4,4)
p=1-fx_poi(1)-fx_poi(2)

% S jakou pravděpodobností se na úseku za rok nestane žádná dopravní nehoda?



% Generování dat:

d=random('Poisson',1.5,1,3000);%1.5 - intenzita,1 řádek, 3000 sloupců
histfit(d,9,"poisson")%9 - počet sloupečků na histogramu

%% Geometrické rozdělení
% Počet neúspěchů před prvním úspěchem.
%  \[
% f(x)=p(1-p)^{x},\:\:\:\:\:\mbox{kde $p$  je pravděpodobnost úspěchu.}
% \]
% Žádáme o úvěr v bance.  Máme  možnost požádat v 8 bankách na trhu a předpokládáme, že všechny banky nám mohou poskytnout úvěr se stejnou pravděpodobností. Pokud úvěr dostaneme, již nemusíme dále hledat. Jaká je pravděpodobnost, že  úvěr poskytne právě 8.banka?
% 7 neúspěchů, pravděpodobnost úspěchů =1/8

fx_geo=pdf('Geometric',0:8,1/8)
p=fx_geo(8)

% Jaká je pravděpodobnost, že obejdeme méně než 3 banky? Že úvěr poskytne hned první banka?



% Generování dat:

z=random('Geometric',1/8,1,2000);
histogram(z)

%% Rovnoměrné rozdělení (diskrétní)
% Hod kostkou - stejné pravděpodobnosti
% f\left(x\right)=\frac{1}{n},\ \ x=1,2,\cdots,n



data_disk=random('Discrete Uniform',6,1,10)

% Vygenerujte 1000 hodů kostkou a vykreslete histogram  a časový graf.



%% Rozdělení spojité náhodné veličiny
%% Rovnoměrné rozdělení (spojité)
% Stejná pravděpodobnost  na intervalu
% f\left(x\right)=\frac{1}{b-a},\ \ \ x\in\left(a,b\right),\,\,\,\,a,b\in R
% Typickým příkladem pro toto rozdělení je čekání na metro/tramvaj/autobus, které jezdí v pravidelných intervalech.
% Porovnáme data z diskrétního a spojitého rovnoměrného rozdělení:

data_spoj=random('Uniform',0,6,1,10)% 0-a, 6-b

% Vygenerujte 50 dat z diskrétního a spojitého rovnoměrného rozdělení a porovnejte pomocí časového grafu:



%% Normální (Gaussovo) rozdělení
% Nejčastěji používané rozdělení
% f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 }}e^{-\frac{1}{2}(\frac {x-\mu)^2}{\sigma^2}},\ \ \ x\in\left(-\infty,\infty\right)
% $\mu$ - střední hodnota,  $\sigma^2$ -- rozptyl,
%  $x \sim N(\mu,\sigma^2)$

data_norm=random('Normal',100,50,1,1000);% 100 - střední hodnota, 50 - směrodatná odchylka
histfit(data_norm)

% V automobilce se vyrábí  součástky o dělce 10 mm v průměru se směrodatnou odchylkou 2 mm. Výrobky, které mají odchylku od průměru větší než 3 mm (tzn. jsou menší než 7 a větší než 13 mm) jsou označeny jako vadné. Jaká je pravděpodobnost, že odchylka součástky bude > než 3 mm a bude tedy vyřazena?
% Pravděpodobnost, že výrobek je kvalitný je integrál hustoty mezi hodnotami 7 a 13 mm, tj plocha pod křivkou hustoty od 7 do 13 mm:
% \[P(x\in(7,13))=\int_{7}^{13}f(x)\:dx.\]
% My ale potřebujeme pravděpodobnost, že výrobek je vadný, tj plochu od $-\infty$ do 7 mm a od 13 mm do $-\infty$.
% \[
% P(x\notin(7,13))=\int_{-\infty}^{7}f(x)\:dx+\int_{13}^{\infty}f(x)\:dx.
% \]
% Abychom nemuseli integrovat, můžeme to spočítat pomocí distribuční funkce. Pravděpodobnost, že výrobek je kvalitný je
% \[
% P(x\in(7,13))=F(13)-F(7)
% \]
% Tím pádem pravděpodobnost, že je vadný, je
% \[P(x\notin(7,13))=
% 1-(F(13)-F(7))
% \]

p=1-(cdf('Normal',13,10,2)-cdf('Normal',7,10,2))

%% Normované normální rozdělení
% Nulová střední hodnota a jednotkový rozptyl N(0,1)
%  $$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-\frac{1}{2}z^2\}. $$
%  Normování:
% $$z=\frac{x-\mu}{\sigma}.$$
% Vypočtětě předchozí příklad pro normované hodnoty 7 a 13.



%% Exponenciální rozdělení
% Doba mezi náhodně se vyskytujícími  událostmi (nezáporná data)
% f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x},\ \ \ \lambda \in\left(0,\infty\right),\ \ x\geq 0
% Doba čekání na pivo je v restauraci Na Florenci průměrně 6 minut. $\lambda=1/E[x]$

data=random('Exponential',1/6,1,1000)
histfit(data,10,'Exp')

