Monty Hallův problém

Zadání

Veskrze poctivý moderátor umístil soutěžní cenu – auto – za jedny ze tří dveří. Za každými ze zbývajících dveří je cena útěchy – koza. Úkolem soutěžícího je zvolit si jedny dveře. Poté moderátor otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, za nimiž je koza. Teď má soutěžící možnost buď ponechat svou původní volbu, nebo změnit volbu na zbývající dveře. Soutěžící vyhrává cenu, která je za dveřmi, které si zvolil. Soutěžící nemá žádné předchozí znalosti, které by mu umožnily odhalit co je za dveřmi.

• Nechť soutěžící nejprve zvolí dveře číslo 1. 
• Nechť moderátor otevře dveře číslo 3, za kterými je koza. 
• Zvýší se šance na výhru auta, pokud soutěžící změní volbu na dveře číslo 2?

Nalezení řešení pomocí bayesovské sítě

Monty Hallův problém může být modelován pomocí tří náhodných veličin: Prize (cena), First Selection (první výběr), and Monty Opens (Monty otevře). Hodnoty těchto veličin jsou vždy tři: "Door 1"(první dveře), "Door 2" (druhé dveře), and "Door 3" (třetí dveře).

• Prize (cena) představuje informaci, za kterými dveřmi je cena. 
• First Selection (první výběr) představuje vaši první volbu.
• Monty Opens (Monty otevře) představuje výběr Montyho Halla po té, co si dveře vyberete vy.

Dveře, za kterými je cena, jsou známé Montymu a tak výběr Montyho (Monty Opens) závisí na veličině Prize. 
Monty nikdy neotevře dveře, které jste si vybrali, takže jeho výběr (Monty Opens) také závisí na veličině First Selection. 
Toto můžeme ilustrovat pomocí orientovaného grafu (který definuje strukturu bayesovské sítě) následovně:

Pravděpodobnostní tabulka veličiny Prize je v Tabulce 1.

Pravděpodobnostní tabulka veličiny First Selection je v Tabulce 2 (tato tabulka se ve skutečnosti při výpočtu nepoužije, protože vždy vybereme jeden ze tří stavů této veličiny).

Tabulka 3 znázorňuje podmíněnou pravděpodobnostní tabulku veličiny Monty Opens. Tato tabulka, říká, že když je cena za prvními dveřmi a vy si vyberete třetí dveře pak Monty nemá jinou volbu než otevřít druhé dveře, protože to jsou jediné dveře, které může otevřít a není za nimi cena.Když si vyberete dveře, za kterými je cena, Monty si náhodně vybere jedny ze dvou zbývajících dveří.

Bayesovská síť je tvořena strukturou z Obrázku 1 a pravděpodobnostní tabulkami pro uzly této sítě. Její konstrukce v programech jako je Hugin nezabere více jak deset minut. Po její kompilaci bude v grafické rozhraní Huginu vypada podobně jako na Obrázku 2. Obrázek 2 je interaktivní Java applet, který vám umožňuje udělat první výběr a pak vložit výběr, který udělá Monty. Po té je možné s tabulky vyčíst pravděpodobnost toho, kde je cena (Prize). 

Obrázek 2 ukazuje, že je vždy lepší vybrat si jiné dveře, než ty, které jste si vybrali poprvé (pravděpodobnost získání ceny je tak 2/3).

Nakonec si můžete stáhnout soubor Huginu s modelem tohoto příkladu.